Задача о жучке на идеальной резине.

Резиновый шнур длиной 1 км одним концом прикреплен к стене, другой у вас в руке. Жучок начинает ползти по шнуру от стены к вам со скоростью 1 см/с. Когда он проползает первый сантиметр, вы удлиняете резину на 1 км, когда он проползает второй сантиметр - еще на 1 км, и так каждую секунду.

Спрашивается: доползет ли жучок до вас, и если доползет, то за какое время?

Ответ: e¹⁰⁰⁰⁰⁰ - 1 секунд

Решение:

Составим уравнение длины нити, представив ее как функцию относительно времени:

L(t)=L₀+tL₀  (1)

L - длина нити в момент времени t

L₀ - начальная длина нити

Жучок ползет по нити. Его уравнение движения выглядит так:

v = x́  (2)

vdt=dx  (3)

Подставляем в уравнение (3) вместо x уравнение (1):

vdt=d(L₀+tL₀)

vdt=L₀+tL₀

vdt=L₀(1+t)

L₀=v∫dt/(1+t)

L₀=vln(1+t)

v=1 см/c, L₀=100000 см; получаем:

1+t=e¹⁰⁰⁰⁰⁰

t=e¹⁰⁰⁰⁰⁰ - 1 c